Question

【題目】已知集合是集合 的一個含有個元素的子集.

（Ⅰ）當時,

設

（i）寫出方程的解；

（ii）若方程至少有三組不同的解,寫出的所有可能取值.

（Ⅱ）證明:對任意一個,存在正整數使得方程 至少有三組不同的解.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）（）利用列舉法可得方程的解有: ；（）列出集合的從小到大個數中相鄰兩數的差，中間隔一數的兩數差，中間相隔二數的兩數差，…中間隔一數的兩數差,可發現只有出現次, 出現次,其余都不超過次,從而可得結果；（Ⅱ）不妨設記, ,共個差數，假設不存在滿足條件的，根據的取值范圍可推出矛盾，假設不成立，從而可得結論.

假設不存在滿足條件的,則這個數中至多兩個、兩個、兩個、兩個、兩個、兩個,.

試題解析：（Ⅰ）（）方程的解有:

（）以下規定兩數的差均為正,則:

列出集合的從小到大個數中相鄰兩數的差: ;

中間隔一數的兩數差（即上一列差數中相鄰兩數和）:4,5,6,6,5,4;

中間相隔二數的兩數差: ;

中間相隔三數的兩數差: ;

中間相隔四數的兩數差: ;

中間相隔五數的兩數差: ;

中間隔一數的兩數差: .

這個差數中,只有出現次, 出現次,其余都不超過次,

所以的可能取值有.

（Ⅱ）證明:不妨設

記, ,共個差數.

假設不存在滿足條件的,則這個數中至多兩個、兩個、兩個、兩個、兩個、兩個,從而

又

這與矛盾,所以結論成立.