Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，滿足

(2a-b)cosC

c

=cosB，且sinA•sinB=

3

4

．求證：△ABC為正三角形．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：已知第一個等式左邊利用正弦定理化簡，整理后求出cosC的值，進而確定出C的度數，得到A+B的度數，用A表示出B，代入第二個等式中，利用積化和差公式變形，整理求出A的值，進而求出B的度數，即可得證．

解答： 解：將

(2a-b)cosC

c

=cosB利用正弦定理化簡得：

(2sinA-sinB)cosC

sinC

=cosB，即2sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB，
整理得：2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sinA（sinA≠0），
∴cosC=

1

2

，
∵C為三角形內角，
∴C=

π

3

，
∵A+B=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
∴sinA•sinB=sinAsin（

2π

3

-A）=-

cos 2π 3 -cos(2A- 2π 3 )

2

=

1

4

+

cos(2A- 2π 3 )

2

=

3

4

，
∴cos（2A-

2π

3

）=1，即2A-

2π

3

=0，
解得：A=

π

3

，
∴B=

π

3

，
則△ABC為正三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，積化和差公式，以及特殊角的三角函數值，熟練定理及公式是解本題的關鍵．