Question

【題目】已知過點的直線與圓相交于A，B兩點.

（1）若，求直線AB的方程；

（2）設線段AB的中點為M，求點M的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）或；

（2）

【解析】

由圓的方程可得圓心坐標和半徑；

（1）當直線斜率不存在時可知不滿足題意，由此可設方程為，利用垂徑定理可構造方程求得，進而得到直線方程；

（2）由圓的性質可知，利用平面向量坐標運算可表示出所滿足的方程，通過在圓內可確定的取值范圍，進而得到結果.

將圓方程整理為：，則圓心，半徑，

（1）若過點的直線斜率不存在，則方程為，此時直線與圓無交點，不合題意，

過點的直線斜率存在，設直線方程為，即，

則圓心到直線距離，，解得：，

直線的方程為：或.

（2）由圓的性質可知：，即.

設，則，，

，整理可得：，

由得：，

為圓的弦的中點，在圓內，即，

點的軌跡方程為.