Question

【題目】已知數列，其前項和為，滿足， ，其中， ，

， .

（1）若， ， （），求數列的前項和；

（2）若，且，求證：數列是等差數列.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析： 根據已知條件得到，兩式相減得，得到求得的值，進而得到，即可得到數列為以為首項， 為公比的等比數列，然后求得數列的前項和；

將，且代入，解得， ，猜想，用數學歸納法證明

解析：（1），所以.兩式相減得.

即

所以，即，

又，所以，得

因此數列為以2為首項，2為公比的等比數列. ，前n項和為

（2）當n = 2時， ，

所以. 又，可以解得，

所以， ，兩式相減得

即. 猜想，下面用數學歸納法證明：

① 當n = 1或2時， ， ，猜想成立；

② 假設當（）時， 成立

則當時， 猜想成立.

由①、②可知，對任意正整數n， .

所以為常數，所以數列是等差數列.