Question

已知拋物線C：y²=4x焦點為F，過F的直線交拋物線C于A，B兩點，l₁、l₂分別過點A、B且與拋物線C相切，P為l₁、l₂的交點．
（1）求證：動點P在一條定直線上，并求此直線方程；
（2）設C、D為直線l₁、l₂與直線x=4的交點，△PCD面積為S₁，△PAB面積為S₂，求

S1

S2

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y2）（y₁＞0＞y₂），設l₁方程為y-y₁=k1(x-

y12

4

)，由其余拋物線相切可得k1=

2

y1

，l₁方程為y=

2

y1

x+

1

2

y1，同理l₂方程為y=

2

y2

x+

1

2

y2，聯立l₁、l₂方程可得點P坐標為P（

y1y2

4

，

y1+y2

2

），設直線AB的方程為x=ty+1，與拋物線方程聯立及韋達定理可求得x_P=-1，于是得到結論；
（2）由（1）知，C、D的坐標分別為C(4 ， 

8

y1

+

1

2

y1)、D(4 ， 

8

y2

+

1

2

y2)．由三角形面積公式分別表示出S₁，S₂，根據

S1

S2

的形式可求其范圍；

解答： 解：（1）設A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y2）（y₁＞0＞y₂），
易知l₁斜率存在，設為k₁，則l₁方程為y-y₁=k1(x-

y12

4

)，
由

y-y1=k1(x- y12 4 ) y2=4x

，得k1y2-4y+4y1-k1y12=0，
由直線l₁與拋物線C相切，知△=16-4k1(4y1-k1y12)=0，
于是，k1=

2

y1

，l₁方程為y=

2

y1

x+

1

2

y1，
同理l₂方程為y=

2

y2

x+

1

2

y2，
聯立l₁、l₂方程可得點P坐標為P（

y1y2

4

，

y1+y2

2

），
設直線AB的方程為x=ty+1，與拋物線方程聯立得y²-4ty-4=0．
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，則xP=

y1y2

4

=-1，
∴點P定在直線x=-1上．
（2）由（1）知，C、D的坐標分別為C(4 ， 

8

y1

+

1

2

y1)、D(4 ， 

8

y2

+

1

2

y2)．
∴| CD |=|  (

8

y1

+

1

2

y1)-(

8

y2

+

1

2

y2) |=| 

(y1y2-16)(y1-y2)

2y1y2

 |．
∴S₁=S△PCD=

1

2

| 4-

y1y2

4

 |•| 

(y1y2-16)(y1-y2)

2y1y2

 |=

25

4

|y1-y2|，
S2=S△PAB=

1

2

|-2-2t2|

1+t2

•

1+t2

|y1-y2|，

S1

S2

=

25

4(1+t2)

∈(0，

25

4

]．

點評：該題考查拋物線的方程性質、直線與拋物線的位置關系、切線等知識，考查學生的運算求解及推理論證能力，綜合性較強，難度較大．