Question

某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品，現用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產了100件這種產品，并測試了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：
A配方的頻率分布表

指標值分組	〔90，94）	〔94，98）	〔98，102）	〔102，106）	〔106，110〕
頻數	8	20	42	22	8

B配方的頻率分布表

指標值分組	〔90，94）	〔94，98）	〔98，102）	〔102，106）	〔106，110〕
頻數	4	12	42	32	10

（Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產品的利潤y（單位：元）與其質量指標值t的關系式為yy=

-2， t＜94 2 ，94≤t＜102 4，t≥102

從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．（以實驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率）

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由實驗結果知求出用A配方生產的產品中優質的平率和用B配方生產的產品中優質品的頻率，由此能求出用A配方，B配方生產的產品的優質品率的估計值．
（Ⅱ）用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區間[90，94），[94，102），[102，110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，由此能求出X的分布列及數學期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由實驗結果知，用A配方生產的產品中優質的平率為

22+8

100

=0.3，
所以用A配方生產的產品的優質品率的估計值為0.3．
由實驗結果知，用B配方生產的產品中優質品的頻率為

32+10

100

=0.42，
所以用B配方生產的產品的優質品率的估計值為0.42
（Ⅱ）用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區間[90，94），[94，102），[102，110]
的頻率分別為0.04，0.54，0.42，
因此P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列為

X	-2	2	4
P	0.04	0.54	0.42

X的數學期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．

點評：本題考查優質品率的估計值的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．