Question

【題目】已知函數f（x）=（m+2cos2x）cos（2x+θ）為奇函數，且f（ ）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）
（Ⅰ）求函數f（x）的圖象的對稱中心和單調遞增區間
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且f（ + ）=﹣ ，c=1，ab=2 ，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（ ）=﹣（m+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴m+1=0，即m=﹣1，
∵f（x）為奇函數，
∴f（0）=（m+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ= ．
故f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+ ）=cos2x（﹣sin2x）=﹣ sin4x，
由4x=kπ，k∈Z得：x= kπ，k∈Z，
故函數f（x）的圖象的對稱中心坐標為：（ kπ，0），k∈Z，
由4x∈[ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[ + kπ， + kπ]，k∈Z，
即函數f（x）的單調遞增區間為[ + kπ， + kπ]，k∈Z，
（Ⅱ）∵f（ + ）=﹣ sin（2C+ ）﹣ ，C為三角形內角，
故C= ，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC= = ，
∵c=1，ab=2 span> ，
∴a+b=2+ ，
∴a+b+c=3+ ，
即△ABC的周長為3+
【解析】（Ⅰ）把x=代入函數解析式可求得m的值，進而根據函數為奇函數推斷出f（0）=0，進而求得cosθ，則θ的值可得函數解析式，進而可得函數f（x）的圖象的對稱中心和單調遞增區間（Ⅱ）由f（+）=﹣可得C角，結合余弦定理及c=1，ab=2，可得△ABC的周長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇函數的相關知識，掌握一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．