Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．
（1）求證：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣BQ﹣C大小的為60°，求QM的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD

（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣1， ，0），

由 = = ，且0≤λ≤1，得M（ ）

所以 =（ ），又 =（0， ，0），

∴平面MBQ法向量為 =（ ）

由題意知平面BQC的法向量為 =（0，0，1）

∵二面角M﹣BQ﹣C為60°，

∴cos60°= = ，∴

∴|QM|=

【解析】（1）證明CD∥BQ，推出QB⊥AD．得到BQ⊥平面PAD，然后證明平面MQB⊥平面PAD．（2）證明PQ⊥AD．推出PQ⊥平面ABCD，以Q為原點建立空間直角坐標系．求出相關點的坐標，求出平面MBQ法向量，平面BQC的法向量，然后利用利用空間向量的數量積求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．