Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣ |﹣|2x+1|． （Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值時a，已知x，y，z均為正實數，且x+y+z=a，求證： + + ≥1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=|x﹣ |﹣|2x+1|= ， 函數的圖象如圖所示，則函數的值域為（﹣∞，1]；
（Ⅱ）證明：由題意x，y，z均為正實數，x+y+z=1，
由柯西不等式可得（x+y+z）（ + + ）≥（y+z+z）2=1，
∴ + + ≥1．
【解析】（Ⅰ）作出函數的圖象，即可求f（x）的值域；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明結論．
【考點精析】利用不等式的證明對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．