Question

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）利用計算器求出這個常數；
（2）根據（1）的計算結果，請你寫出一個三角恒等式，使得上述五個等式是這個恒等式的特殊情況；
（3）證明你寫出的三角恒等式．

Answer 1

考點：進行簡單的演繹推理,歸納推理

專題：規律型,三角函數的求值,推理和證明

分析：（1）選擇（2）求常數相對容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函數平方關系結合特殊角三角函數值求得答案．
（2）根據（I）的計算結果，可得三角恒等式為：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，
（3）進而根據兩角差的余弦公式，展開化簡后可得答案．

解答： 解：（1）選擇②為例：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=1-

1

4

=

3

4

…（4分）
（2）根據（1）的計算結果，可得三角恒等式為：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

…（6分）
證明：（3）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（

3

2

cosα+

1

2

sinα）²-sinα（

3

2

cosα+

1

2

sinα）
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

…（12分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，三角函數恒等式的證明，熟練掌握二倍角正弦公式和同角三角函數平方關系，特殊角三角函數值及兩角差的余弦公式，是解答的關鍵．