Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為b．

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若點M（，）在橢圓C上，不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，與直線OM相交于點N，且N是線段AB的中點，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）由題意，得，然后求解離心率即可；

（2）由（1）得a=2c，則b2=3c2．將代入橢圓方程可解得c=1，求出橢圓方程，直線OM的方程為，當直線l的斜率不存在時，AB的中點不在直線上，故直線l的斜率存在．設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），與橢圓聯立消y，設A，B坐標，利用韋達定理求出AB的中點，代入可得k值，再利用判別式推出，且m≠0，利用弦長公式以及三角形的面積，利用均值不等式可得最值．

（1）由題意，得，

則，結合b2=a2-c2，得，

即2c2-3ac+a2=0，

亦即2e2-3e+1=0，結合0＜e＜1，解得，

所以橢圓C的離心率為．

（2）由（1）得a=2c，則b2=3c2，

將代入橢圓方程，解得c=1，

所以橢圓方程為，

易得直線OM的方程為，

當直線l的斜率不存在時，AB的中點不在直線上，故直線l的斜率存在，

設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），與聯立，

消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

所以=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）

=48（3+4k2-m2）＞0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則，，

由，

得AB的中點，

因為N在直線上，

所以，解得k=-．

所以=48（12-m2）＞0，得-，且m≠0，

|AB|=|x2-x1|

=

=

=．

又原點O到直線l的距離d=，

所以

，

當且僅當12-m2=m2，m=時等號成立，符合-，且m≠0，

所以△OAB面積的最大值為：．