【題目】已知函數
.
（1）證明：當
時，
；
（2）若
有極大值，求
的取值范圍；
（3）若在
處取極大值，證明：
.
【答案】（1）見證明 （2）
（3）見證明
【解析】
（1）當
時，
，
，研究函數的單調性與最值即可證明不等式；
（2）由題設得
.由
有極大值得
有解，且
.利用極大值定義即可建立a的不等關系；
（3）由（2）知：當
時，有唯一的極大值點
, 且
，故
，結合函數的單調性即可證明.
（1）證明：當時，，，
令
，則
.
∴當
時，
，
單調遞減；當
時，
，單調遞增.
∴當
時，
.
∴當時，
，在
上單調遞增.
∴當時，
，即
.
（2）解：由題設得.由有極大值得有解，且.
令
，則
.由
得
.
∴當
時，
，
單調遞減；當
時，
，單調遞增.
∴
.
當
，即
時，
，即
，此時，在
上單調遞增，無極值；
當
，即時，
∴
，
.
由（1）知：
，即
.
∴存在
，
，使
.
∴當
時，
，即單調遞增；當
時，
，
即單調遞減；當
時，，即單調遞增.
∴
是唯一的極大值點.
綜上所述，所求
的取值范圍為
.
（3）證明：由（2）知：當時，有唯一的極大值點,
且，故，
由（2）知：
.
當
時，
，由（2）知：在上單調遞增.
∴當
時，
，即
.
∴當時，
.
綜上所述，
.
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【題目】定義在
上的函數
，給出下列四個命題：
①若是偶函數，則
的圖像關于直線
對稱；
②若
，則的圖像關于點
對稱；
③若
，且
，則的一個周期為2；
④
與
的圖像關于直線
對稱；
其中正確命題的序號為________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
為
個不同的冪函數，有下列命題：
① 函數
必過定點
；
② 函數可能過點
；
③ 若
，則函數
為偶函數；
④ 對于任意的一組數
、
、…、
，一定存在各不相同的
個數
、
、…、
使得
在
上為增函數.其中真命題的個數為（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓C過定點F（2，0），且與直線x=-2相切，圓心C的軌跡為E，
（1）求圓心C的軌跡E的方程；
（2）若直線l交E與P，Q兩點，且線段PQ的中心點坐標（1，1），求|PQ|．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是邊長為1的正三角形，點P在所在的平面內，且
（a為常數），下列結論中正確的是（ ）
A.當
時，滿足條件的點P有且只有一個
B.當
時，滿足條件的點P有三個
C.當
時，滿足條件的點P有無數個
D.當a為任意正實數時，滿足條件的點總是有限個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.
（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
+
=1（a＞b＞0），且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為
b．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若點M（
，
）在橢圓C上，不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，與直線OM相交于點N，且N是線段AB的中點，求△OAB面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為了提高企業利潤，從2014年至2018年每年都對生產環節的改進進行投資，投資金額
（單位：萬元）與年利潤增長量
（單位：萬元）的數據如表：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
年利潤增長量 | 6.0 | 7.0 | 9.0 | 11.0 | 12.0 |
（1）記
年利潤增長量
投資金額，現從2014年至2018年這5年中抽出兩年進行調查分析，求所抽兩年都是
萬元的概率；
（2）請用最小二乘法求出關于的回歸直線方程；如果2019年該企業對生產環節改進的投資金額為10萬元，試估計該企業在2019年的年利潤增長量為多少？
參考公式：
，
；
參考數據：
，
.
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