Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋n＝2an(n∈N*)．

(1)證明：數列{an＋1}為等比數列，并求數列{an}的通項公式；

(2)若bn＝an＋2n＋1，數列{bn}的前n項和為Tn.．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析， ；（2）

【解析】分析：（1）根據Sn＋n＝2an仿寫可得Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)，兩式相減變形后可得an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，從而可得等比數列{an＋1}，進而可得數列{an}的通項公式．（2）由（1）可得bn＝an＋2n＋1=2n＋2n，然后利用分組求和法可得Tn．

詳解：(1)∵Sn＋n＝2an，

∴Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)．

∴Sn－Sn－1=an＝2an－1＋1，

∴an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，

又n＝1時，S1＋1＝a1＋1=2a1，

∴a1＝1．

∴a1＋1＝2≠0，

∴數列{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數列．

∴，

∴an＝2n－1．

(2)由（1）得bn＝an＋2n＋1=2n＋2n．

∴Tn＝

．