Question

【題目】已知函數，其中m為常數，且是函數的極值點．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅰ）若在上恒成立，求實數的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

(Ⅰ)先對求導,再利用,列式求解,最后再進行檢驗即可;

(Ⅱ)令,則題意可轉化為在上恒成立,對求導,然后分,和三種情況,研究的單調性,判斷其最小值是否大于0,從而得出結論.

(Ⅰ),則,

是函數的極值點,

,,

又時,,

當時,,時,,

∴在上單調遞增,上單調遞減,

∴是函數的極大值點,

∴符合題意;

(Ⅱ)令,則,

由題得在上恒成立,

,

令,

則,

①當時,,則,

∴在上單調遞增,∴,成立;

②當時,令,

則,

在時,,

∴在上單調遞增,

又,,

則在上存在唯一使得,

∴當時,,在上單調遞減,

,不符合題意;

③當時,在時,,

∴在上單調遞減,此時,不符合題意;

綜上所述,實數k的最小值為.