Question

【題目】如圖，在六棱錐中，底面是邊長為的正六邊形，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）要證明面面垂直，需先證明線面垂直，設，連結，根據正六邊形的性質和條件，可證明平面；（2）首先證明，即、、兩兩互相垂直，以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系（如下圖所示），分別求平面和平面的法向量 ，根據公式求解.

解：（1）設，連結.

在正六邊形中，根據對稱性為中點，

又，，

又因為，所以.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）在正六邊形中，，

所以，.

又因為，所以.

因為，所以，即，

所以、、兩兩互相垂直.

以、、所在的直線為軸、軸、

軸建立空間直角坐標系（如圖所示）.

則，，，

，，，

設平面的一個法向量為.

由得令，解得，.

所以.

設平面的一個法向量為.

由得令，解得.

所以.

因此.

因為二面角的平面角為鈍角，

故二面角的余弦值為.