Question

【題目】已知離心率為的橢圓：的上下頂點分別為，，直線：與橢圓相交于，兩點，與相交于點 .

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若，求面積的最大值；

（Ⅲ）設直線，相交于點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）1

【解析】

（Ⅰ）根據題意解得得到橢圓方程.

（Ⅱ）設，，聯立方程得到根與系數關系，根據垂直得到，計算三角形面積表達式，換元利用二次函數性質得到答案.

（Ⅲ）計算和的直線方程，相除整理得到，計算，，代入向量數量積公式得到答案.

（Ⅰ）由題意可得：，，，聯立解得，.

所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設，，聯立方程組，

化簡得；

，

，；

因為，

化簡整理得到，故，

，

設，所以，所以當即時，.

（Ⅲ）設，，直線：①，

直線：②；①÷②得，

設，則，

即，所以.

所以，

所以，又因為，.