Question

（2012•盧灣區一模）已知函數f（x）=

x+1-t

t-x

（t為常數）．
（1）當t=1時，在圖中的直角坐標系內作出函數y=f（x）的大致圖象，并指出該函數所具備的基本性質中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設a_n=f（n）（n∈N^*），當t＞10，且t∉N^*時，試判斷數列{a_n}的單調性并由此寫出該數列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數）．
（3）利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述構造過程中，若x_i（i∈N^*）在定義域中，則構造數列的過程繼續下去；若x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．若取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求實數t的值．

Answer 1

分析：（1）當t=1時，f（x）=

x

1-x

=-1+

-1

x-1

，畫出函數的圖象，利用圖象可得函數的性質；
（2）a_n=

n+1-t

t-n

=-1+

-1

n-t

，確定1≤n≤[t]，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均大于-1；n≥[t]+1，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均小于-1，由此可得結論
（3）函數f（x）=

x+1-t

t-x

=t在R中無實數解，亦即當x≠t時，方程（1+t）x=t²+t-1無實數解，從而可得實數t的值．

解答：解：（1）當t=1時，f（x）=

x

1-x

=-1+

-1

x-1

．
圖象如圖：（2分）
基本性質：（每個2分）
奇偶性：既非奇函數又非偶函數；
單調性：在（-∞，1）和（1，+∞）上分別遞增；
零點：x=0；
最值：無最大、小值．（6分）
（2）a_n=

n+1-t

t-n

=-1+

-1

n-t

，
當1≤n≤[t]，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均大于-1，
當n≥[t]+1，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均小于-1，（8分）
因此，數列中的最大項為a_[t}=

[t]+1-t

t-[t]

，（10分）
最小項為a_[t}+1=

[t]+2-t

t-1-[t]

．（12分）
（3）由題意，函數f（x）=

x+1-t

t-x

=t在R中無實數解，
亦即當x≠t時，方程（1+t）x=t²+t-1無實數解．（14分）
由于x=t不是方程（1+t）x=t²+t-1的解，（16分）
因此對任意x∈R，使方程（1+t）x=t²+t-1無實數解，則t=-1為所求．（18分）

點評：本題考查函數的圖象與性質，考查函數的單調性，考查數列與函數的關系，考查方程解的研究，確定函數的單調性是關鍵．