Question

【題目】已知橢圓過點，其離心率為。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的右頂點為，直線交于兩點（異于點），若在上，且，，證明直線過定點。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設條件建立方程組求解；（Ⅱ）借助題設條件運用直線與橢圓的位置關系建立方程求解推證。

試題解析：

（Ⅰ）由已知得：

解之得：，，

所以橢圓的方程；

（Ⅱ）因為，，

所以，

所以，即

當直線的斜率存在時，

設直線的方程為，

代入橢圓方程消去整理得：，

因為直線與橢圓交于不同的兩點，

所以，即，，

且，，

設，，因為，

所以，即：，

所以，

整理得：，

所以或，均滿足，

當時，直線的方程為，直線過定點；當直線的斜率不存在時，也符合，

當時，直線的方程為，直線過定點，不合題意；

綜上知，直線過定點。