Question

【題目】已知函數，其中為常數，且.

（1）若，求函數的表達式；

（2）在（1）的條件下，設函數，若在區間[-2,2]上是單調函數，求實數的取值范圍；

（3）是否存在實數使得函數在[-1,4]上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）由，可得的值，從而可得函數的表達式；

（2），函數的對稱軸為，根據在區間上是單調函數，可得或，從而可求實數的取值范圍；（3）的對稱軸為，分類討倫，確定函數圖象開口向上，函數在上的單調性，利用最大值是，建立方程，即可求得結論.

試題解析：（1）由得，∴，

∴.

由（1）得，該函數對稱軸為，

若在區間上是單調函數，應滿足或，解得或，故所求實數的取值范圍是或.

（3）函數的對稱軸為，

①當時，函數開口向上，對稱軸，此時在上最大值為，∴，∴，不合題意，舍去.

②當，函數開口向下，對稱軸.

（1）若，即時，函數在的最大值為，

化簡得，解得或，符合題意.

（2）若即時，函數在單調遞增，最大值為，∴，不合題意，舍去.

綜上所述存在或滿足函數在上的最大值是4.