Question

【題目】如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= CD=1．
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）若平面PAD與PBC所成的銳二面角的大小為 ，求線段PD的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設PC交DE于點N，連結MN，

在△PAC中，∵M，N分別是PA，PC的中點，

∴MN∥AC，

又AC平面MDE，MN平面MDE，

∴AC∥平面MDE

（2）解：設PD=a，（a＞0），

∵四邊形PDCE是矩形，四邊形ABCD是梯形，

平面PDCE⊥平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD，

又∵∠BAD=∠ADC=90°，

以D為原點，DA，DC，DP所在直線分為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），

，

平面PAD的法向量 =（0，1，0），

設平面PBC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=a，得 =（a，a，2），

∵平面PAD與PBC所成的銳二面角的大小為 ，

∴cos = = = ，

解得a= ．

∴線段PD的長度為 ．

【解析】（1）設PC交DE于點N，連結MN，MN∥AC，由此能證明AC∥平面MDE．（2）設PD=a，（a＞0），推導出PD⊥平面ABCD，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段PD的長度．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．