Question

【題目】如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A= ，D為△ABC外一點，DB=2，DC=1，求四邊形ABDC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC）， ∴sinA=sinB（sinC+cosC），
∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinBsinC，
又∵C∈（0，π），故sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1．
又∵B∈（0，π），
∴ ．
（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．
又 ，由（Ⅰ）可知 ，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴當 時，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為 ．

【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知可得cosBsinC=sinBsinC，結合sinC≠0，可求tanB=1，結合范圍B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知 ，利用三角形面積公式可求S△ABC ， S△BDC ， 從而可求 ，根據正弦函數的性質即可得解四邊形ABDC面積的最大值．