Question

【題目】已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．

(1) 求向量b＋c的模的最大值；

(2) 若α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）見解析

【解析】試題分析（1）根據向量加法坐標表示以及向量模的坐標表示可得|b＋c|2＝2(1－cos β)，再根據三角函數有界性可得模的最值（2）由向量垂直可得數量積為零，根據向量數量積坐標表示可得關于β的方程，解得β值 ，即得cos β的值．

試題解析：解：(1) b＋c＝(cos β－1，sin β)，則|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．

∵ －1≤cos β≤1，

∴ 0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.

當cos β＝－1時，|b＋c|取最大值2，

∴ 向量b＋c的模的最大值為2.

(2) ∵ b＋c＝(cos β－1，sin β)，

∴ a·(b＋c)＝cos αcos β－cos α＋sin αsin β

＝cos(α－β)－cos α.

∵ a⊥(b＋c)，

∴ a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cos α.

又α＝，∴ cos＝cos，β－＝2kπ± (k∈Z)，

∴ β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，

∴ cos β＝0或cos β＝1.