【題目】已知數列
滿足
，其中
， 
.
（1）求
， 
， 
，并猜想
的表達式（不必寫出證明過程）；
（2）設
，數列
的前
項和為
，求證： 
.
（B）已知數列
的前
項和為
，且滿足
， 
.
（1）求
， 
， 
， 
，并猜想
的表達式（不必寫出證明過程）；
（2）設
， 
，求
的最大值.
【答案】（A）（1）詳見解析;（2）詳見解析. （B）（1）詳見解析;（2）
.
【解析】試題分析:（A）（1）利用
的遞推關系得到
，從而求得
，由此猜想
.（2）將
的表達式代入
，求得
，用裂項求和法求得前
項和
.（B）利用
，和
的遞推關系，可求得
的值，由此猜想
.（2）利用
，可求得
的通項公式，代入
并化簡，利用基本不等式可求得其最大值.
試題解析：
（A）解（1）由題意， 
， 
， 
，
則
， 
， 
，
猜想得： 
.
（2）由（1）得
，
則
.
（B）解（1）
，
由
，得
，
同理可得
， 
，
猜想： 
.
（2）由（1），
時， 
，
當
時， 
滿足止式，
所以
，
則
， 
，
設
，則有
在
上為減函數，在
上為增函數，
因為
，且
，
所以當
或
時， 
有最大值
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
三個班共有學生100人，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲取了部分學生一周的鍛煉時間，數據如下表（單位：小時）.
| 6 |
| 7 | |
| 6 | 7 | 8 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
（1）試估計
班學生人數；
（2）從
班和
班抽出來的學生中各選一名，記班選出的學生為甲，班選出的學生為乙，求甲的鍛煉時間大于乙的鍛煉時間的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，短軸兩個端點為
，且四邊形
是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若
分別是橢圓長軸的左、右端點，動點
滿足
，連結
，交橢圓于點
，證明：
為定值；
（3）在（2）的條件下，試問
軸上是否存在異于點
的定點
，使得以
為直徑的圓恒過直線
的交點，若存在，求出點
的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．
(1) 求向量b＋c的模的最大值；
(2) 若α＝
，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為常數， 
是自然對數的底數），曲線
在點
處的切線方程是
.
（1）求
的值；（2）求
的單調區間；
（3）設
（其中
為
的導函數）。證明：對任意
， 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝loga(ax2－x＋1)(a＞0，a≠1)．
(1) 若a＝
，求函數f(x)的值域．
(2) 當f(x)在區間
上為增函數時，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖:某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（
）的池底水平鋪設污水凈化管道（
是直角頂點）來處理污水，管道越長污水凈化效果越好，設計要求管道的的接口
是
的中點，
分別落在線段
上。已知
米，
米，記
.
（1）試將污水凈化管道的長度
表示為
的函數，并寫出定義域；
（2）若
，求此時管道的長度；
（3）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】傳承傳統文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏，將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優秀、良好、一般三個等級，隨機從中抽取了100名選手進行調查，下面是根據調查結果繪制的選手等級人數的條形圖.
（1）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據已知條件完成下面的
列聯表，并據此資料你是否有95%的把握認為選手成績“優秀”與文化程度有關？
（2）若參賽選手共6萬人，用頻率估計概率，試估計其中優秀等級的選手人數；
（3）在優秀等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在良好等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優秀等級的選手中任取一名，記其編號為
，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為
，求使得方程組
有唯一一組實數解
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學在研究性學習中，關于三角形與三角函數知識的應用（約定三內角
所對的邊分別是
）得出如下一些結論：
（1）若
是鈍角三角形，則
；
（2）若
是銳角三角形，則
；
（3）在三角形
中，若
，則
（4）在
中，若
，則
其中錯誤命題的個數是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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