Question

【題目】如圖，多面體中，面為矩形，，且．

（1）求證：平面；

（2）求與所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）要證平面，只需證明直線垂直平面內的兩條相交直線、即可；（2）要求與所成的角，即求與所成的角，解三角形可求與所成角的余弦值；（3）過作于又過作于，連接，說明為二面角的平面角，解三角形可求二面角的余弦值．

試題解析：（1）∵是矩形，∴

又，則

， ∴平面

（2）矩形，∴，即，

∴要求與所成的角，即求與所成的角．

在中，由（1）知面，

∴中，，

∴是在面內的射影，且，

∴，

，

從而與的成的角的余弦為；

（3）∵中，且，

∴面，

∴面面，為面與面的交線，

∴過作于，∴面，

又過作于，連接，從而得：，

∴為二面角的平面角．

在矩形中，對角線，

∴在中，，

由（2）知在中，，

而中，，且，∴，

∴為等腰直角三角形且為直角，

∴，

∴，

所以所求的二面角的余弦為．