Question

（2010•龍巖二模）已知數列{a_n}滿足a_n=a_n+1+4，a₁₈+a₂₀=12，等比數列{b_n}的首項為2，公比為q．
（Ⅰ）若q=3，問b₃等于數列{a_n}中的第幾項？
（Ⅱ）數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別記為S_n和T_n，S_n的最大值為M，當q=2時，試比較M與T₉的大小．

Answer 1

分析：（I）根據等比數列的性質求出b₃，然后由a_n=a_n+1+4，可知{a_n}是公差d=-4的等差數列，根據a₁₈+a₂₀=12，求出數列的首項和公差，從而求出數列的通項，令a_n=b₃求出n的值，從而得到所求；
（II）根據等比數列的求和公式求出T₉，然后根據等差數列的求和公式求出S_n，根據二次函數的性質求出S_n的最大值M，從而得到M與T₉的大小．

解答：解：（I）b₃=b₁q²=18．                                      …（2分）
由a_n=a_n+1+4，得a_n+1-a_n=-4，即{a_n}是公差d=-4的等差數列．…（3分）
由a₁₈+a₂₀=12，得a₁+18d=6⇒a₁=78
∴a_n=78+（n-1）（-4）=-4n+82
令-4n+82=b₃=18，得n=16
∴b₃等于數列{a_n}中的第16項
（II）∵b₁=q=2
∴T₉=

2(1-29)

1-2

=2¹⁰-2=1022
又S_n=78n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n²+80n=-2（n-20）²+800
∴n=20時，最大值M=800
∴M＜T₉

點評：本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．