Question

（2010•龍巖二模）已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，f（x）g（x）=a^x，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

5

2

．在區間[-3，0]上隨機取一個數x，f（x）g（x）的值介于4到8之間的概率是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3

  8

• C．

  1

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：根據函數積的導數公式，可知函數f（x）g（x）在R上是減函數，根據f（x）g（x）=a^x，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

5

2

．我們可以求出函數解析式，從而可求出f（x）g（x）的值介于4到8之間時，變量的范圍，利用幾何概型的概率公式即可求得．

解答：解：由題意，∵f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
∴[f（x）g（x）]'＜0，
∴函數f（x）g（x）在R上是減函數
∵f（x）g（x）=a^x，
∴0＜a＜1
∵f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

5

2

．
∴a+

1

a

=

5

2

∴a=

1

2

∵f（x）g（x）的值介于4到8
∴x∈[-3，-2]
∴在區間[-3，0]上隨機取一個數x，f（x）g（x）的值介于4到8之間的概率是P=

-2+3

0+3

=

1

3

故選A．

點評：本題的考點是利用導數確定函數的單調性，主要考查積的導數的運算公式，考查幾何概型，解題的關鍵是確定函數的解析式，利用幾何概型求解．