Question

（2010•龍巖二模）已知a為實數，x=1是函數f(x)=

1

2

x2-6x+alnx的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（2m-1，m+1）上單調遞減，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g(x)=x+

1

x

，對于任意x≠0和x₁，x₂∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用1處的導數值為0就可求的a的值；
（Ⅱ）利用導數小于0求出函數的遞減區間，然后讓區間（2m-1，m+1）是求出減區間子區間就可求出參數m的取值范圍，還要注意：2m-1＜m+1；
（Ⅲ）先利用導數求出函數的極大值和極小值，極大值和極小值之差就是|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，然后讓|λg（x）|-5ln5大于等于這個最大值，再用基本不等式求出|λg（x）|
的最小值，便可求出實數λ的取值范圍．

解答：解：f′(x)=x-6+

a

x

（I）f′（1）=0⇒1-6+a=0⇒a=5
（Ⅱ）首先x＞0，由（I）得f′(x)=x-6+

5

x

=

x2-6x+5

x

=

(x-1)(x-5)

x

令f′（x）＜0，得：1＜x＜5即f（x）的單調遞減區間是（1，5）
∵f（x）在區間（2m-1，m-1）上單調遞減
∴（2m-1，m-1）⊆（1，5）⇒

2m-1＜m-1 2m-1≥1 m-1≤5

⇒1≤m＜2
（Ⅲ）由（I），f(x)=

1

2

x2-6x+5lnx，列表如下：

則f(x)極大值=f(1)=-

11

12

，f(x)極小值=f(5)=-

35

2

+5ln5
∴|f(x1)-f(x2)|≤-

11

2

-(-

35

2

+5ln5)=12-5ln5
∴|λg（x）|-5ln5≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立?∴|λg（x）|≥12恒成立
∵|g(x)|=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2當且僅當x=±1取等號
|λg（x）|_min=|2λ|≥12⇒|λ|≥6⇒λ≤-6或λ≥6

點評：本題主要考查了利用導數求單調區間及極值的方法，還涉及到恒成立問題轉化為求最值問題的一般數學思想，在第2問很容易忽略區間的左端點要小于右端點這一條件，所以本題也屬于易錯題．