Question

【題目】已知函數f（x）=sinx﹣xcosx．
（1）討論f（x）在（0，2π）上的單調性；
（2）若關于x的方程f（x）﹣x2+2πx﹣m=0在（0，2π）有兩個根，求實數m的取值范圍．
（3）求證：當x∈（0， ）時，f（x）＜ x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx，

f'（x）＞0x∈（0，π），f'（x）＜0

x∈（π，2π）f（x）的遞增區間（0，π），遞減區間（π，2π）；

（2）解：f（x）=x2﹣2πx+m，

設h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2，

由 ，解得，0＜m＜π2+π；

（3）證明：令g（x）=f（x）﹣ x3，

則g′（x）=x（sinx﹣x），

當x∈（0， ）時，設t（x）=sinx﹣x，則t′（x）=cosx﹣1＜0，

所以t（x）在x∈（0， ）單調遞減，t（x）=sinx﹣x＜t（0）=0，

即sinx＜x，所以g′（x）＜0，

所以g（x）在（0， ）上單調遞減，所以g（x）＜g（0）=0，

所以f（x）＜ x3．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）設h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2 ， 根據二次函數的性質求出m的范圍即可；（3）令g（x）=f（x）﹣ x3 ， 求出函數的導數，根據函數的單調性求出g（x）＜0，從而證出結論即可．