【題目】已知斜率為k的直線l經過點(-1,0),且與拋物線C:y2=2px(p>0,p為常數)交于不同的兩點M,N.當k=
時,弦MN的長為
.
(1)求拋物線C的標準方程.
(2)過點M的直線交拋物線于另一點Q,且直線MQ經過點B(1,-1),判斷直線NQ是否過定點?若過定點,求出該點坐標;若不過定點,請說明理由.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）直線方程為
，代入曲線的方程，由此利用弦長公式能求出拋物線C的標準方程；
（2）設
，得到直線MN的方程，同理得到MQ和NQ的方程，將點
代入MN的方程，得到
，由
在直線MQ上，聯立即可得到結論.
(1)當k=時,直線l的方程為y=(x+1),即x=2y-1.
聯立
消去x得y2-4py+2p=0.
設M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=
|y1-y2|=
×
=4
,解得p=2或p=-(舍去),
所以拋物線C的標準方程為y2=4x.
(2)設M(t2,2t),N(
,2t1),Q(
,2t2),則k=
=
,則直線MN的方程為y-2t=(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直線MQ的方程為2x-(t+t2)y+2tt2=0,直線NQ的方程為2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.
由點(-1,0)在直線MN上,可得tt1=1,即t=
①.由B(1,-1)在直線MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,將①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,將②代入直線NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直線NQ過定點(1,-4).
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【題目】已知函數f（x）=sinx﹣xcosx．
（1）討論f（x）在（0，2π）上的單調性；
（2）若關于x的方程f（x）﹣x2+2πx﹣m=0在（0，2π）有兩個根，求實數m的取值范圍．
（3）求證：當x∈（0， 
）時，f（x）＜ 
x3 ．
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【題目】給出如下四個說法：
①已知p，q都是命題，若p∧q為假命題，則p，q均為假命題；
②命題“若a>b，則3a>3b-1”的否命題為“若a≤b，則3a≤3b-1”；
③命題“x∈R，x2+1≥0”的否定是“x0∈R，
+1<0”；
④“a≥0”是“x0∈R，a+x0+1≥0”的充分必要條件．
其中正確說法的序號是 ( )
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
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【題目】某小學對一年級的甲、乙兩個班進行“數學學前教育”對“小學數學成績優秀”影響的試驗，其中甲班為試驗班(實施了數學學前教育)，乙班為對比班(和甲班一樣進行常規教學，但沒有實施數學學前教育)，在期末測試后得到如下數據：
優秀人數 | 非優秀人數 | 總計 | |
甲班 | 30 | 20 | 50 |
乙班 | 25 | 25 | 50 |
總計 | 55 | 45 | 100 |
能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為進行“數學學前教育”對“小學數學成績優秀”有積極作用？
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，圓C1：（x﹣1）2+y2=2，圓C2：（x﹣m）2+（y+m）2=m2 ． 圓C2上存在點P滿足：過點P向圓C1作兩條切線PA，PB，切點為A，B，△ABP的面積為1，則正數m的取值范圍是 ．
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【題目】已知橢圓C:
(a>b>0)的離心率為
,以坐標原點O為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+
=0相切.A,B分別是橢圓C的左、右頂點,直線l過B點且與x軸垂直.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設G是橢圓C上異于A,B的任意一點,過點G作GH⊥x軸于點H,延長HG到點Q使得|HG|=|GQ|,連接AQ并延長交直線l于點M,N為線段MB的中點,判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系,并證明你的結論.
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【題目】為了普及環保知識,增強環保意識,某大學從理工類專業的A班和文史類專業的B班各抽取20名同學參加環保知識測試.統計得到成績與專業的列聯表如下所示:
優秀 | 非優秀 | 總計 | |
A班 | 14 | 6 | 20 |
B班 | 7 | 13 | 20 |
總計 | 21 | 19 | 40 |
則下列說法正確的是 ( )
A. 有99%的把握認為環保知識測試成績與專業有關
B. 有99%的把握認為環保知識測試成績與專業無關
C. 有95%的把握認為環保知識測試成績與專業有關
D. 有95%的把握認為環保知識測試成績與專業無關
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【題目】已知橢圓C:
(a>b>0)的離心率為
,坐標原點O到直線x+y-b=0的距離為
.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設過橢圓C的右焦點F且傾斜角為45°的直線l與橢圓C交于A,B兩點,對于橢圓C上一點M,若
(λ>0,μ>0),求λμ的最大值.
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