Question

【題目】已知函數f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x(a∈R且a≠0)．

(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(－2，f(－2))處的切線方程；

(2)當a＞0時，求函數y＝f(x)的單調區間和極值；

(3)當x∈[2a，2a＋2]時，不等式|f′(x)|≤3a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數y＝f(x)的單調遞增區間為(a，3a)，單調遞減區間為(－∞，a)和(3a，＋∞)，極大值為0，極小值為－a3；（3）

【解析】

(1)當a＝－1時,f′(x)＝－x2－4x－3, f(－2)＝，f′(－2)＝1,點斜式寫出直線方程即可；（2）對函數求導，判斷導函數的正負得到單調區間和極值；（3）通過研究導函數的性質得到f′(x)取得最大值a2，當x＝2a＋2時，f′(x)取得最小值a2－4，進而得到解得即可.

(1)∵當a＝－1時，f(x)＝－x3－2x2－3x，f′(x)＝－x2－4x－3，∴f(－2)＝－8＋6＝，f′(－2)＝－4＋8－3＝1，∴所求切線方程為y＝[x－(－2)]＋，即3x－3y＋8＝0.

(2)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．當a＞0時，由f′(x)＞0，得a＜x＜3a；由f′(x)＜0，得x＜a或x＞3a.∴函數y＝f(x)的單調遞增區間為(a，3a)，單調遞減區間為(－∞，a)和(3a，＋∞)．∵f(3a)＝0，f(a)＝－a3，∴當a＞0時，函數y＝f(x)的極大值為0，極小值為－a3.

(3)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－2a)2＋a2，∵在區間[2a，2a＋2]上f′(x)單調遞減，∴當x＝2a時，f′(x)取得最大值a2，當x＝2a＋2時，f′(x)取得最小值a2－4.

∵不等式|f′(x)|≤3a恒成立，∴解得1≤a≤3，故a的取值范圍是[1，3]．