Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點，AB=BC=kPA。
（I）當k=1時，求證PA⊥B₁C；
（II）當k為何值時，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為，并求此時二面角A—PC—B的余弦值。

Answer 1

（I）證明略
（II）二面角A—PC—B的余弦值是

（方法一）
（I）連接B₁P，因為在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，P為A₁C₁的中點，
AB=BC，所以B₁P⊥面A₁C。
所以B₁P⊥AP。
又因為當k=1時，
AB=BC=PA=PC，

∴AP⊥PC。
∴AP⊥平面B₁PC，
∴PA⊥B₁C。
（II）取線段AC中點M，線段BC中點N，
連接MN、MC₁、NC₁，
則MN//AB，∵AB⊥平面B₁C，∴MN⊥平面B₁C，
是直線PA與平面BB₁C₁C所成的角，

設AB=a，

即時，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為
此時，過點M作MH，垂足為H，連接BH，
，
由三垂線定理得BH⊥PC，
所以是二面角A—PC—B的平面角。
設AB=2，則BC=2，PA=-4，，
在直角三角形中AA₁P中
，
連接MP，在直角三角形中
由，
又由，在直角三角形中BMH中，
解得，
在直角三角形BMH中

所以二面角A—PC—B的余弦值是
（方法二）
以點B為坐標原點，分別以直線BA、BC、BB₁為x軸、y軸建立空間直角坐標系Oxyz，
（I）設AB=2，則AB=BC=PA=2
根據題意得：
所以

（II）設AB=2，則，
根據題意：A（2，0，0），C（0，2，0）
又因為
所以，

所以由題意得
即

即時，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為

的法向量
設平面BPC的一個法向量為

由，得，

所以此時二面角A—PC—B的余弦值是