Question

（本小題共12分）
如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA₁=
（1）求證：BC₁//平面A₁DC；
（2）求二面角D—A₁C—A的大小

Answer 1

（1）略
（2）設(shè)二面角D—A₁C—A的大小為

（I）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連結(jié)DG，
在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

…………2分

…………4分
（II）解法一： 過點(diǎn)D作交AC于E，過點(diǎn)D作交A₁C于F，連結(jié)EF。

是二面角D—A₁C—A的平面角，…………8分
在直角三角形ADC中，
同理可求：
…………12分
解法二：過點(diǎn)A作交BC于O，過點(diǎn)O作交B₁C₁于E。
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154547416536.gif" style="vertical-align:middle;" />
所以，分別以CB、OE、OA所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154547478675.gif" style="vertical-align:middle;" />是等邊三角形，所以O(shè)為BC的中點(diǎn)，則 …6分 設(shè)平面A₁DC的法向量為

則


取……8分
可求平面ACA₁的一個(gè)法向量為…………10分
設(shè)二面角D—A₁C—A的大小為
…………12分