Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求的零點個數；

（Ⅲ）若函數在上是增函數，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析．（Ⅲ）見解析．

【解析】

（Ⅰ）由題意，求得，求得，得到切線的斜率，利用點斜式方程，即可得到切線的方程；

（Ⅱ）由，得到在上是增函數，進而得到，再根據零點的存在定理，即可求解.

（Ⅲ）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，設，利用導數得到函數的單調性與最值，即可求解.

解：（Ⅰ） 則：，又

所以，所求切線方程為，即．

（Ⅱ）因為，

所以在上是增函數，

則，

所以在上是增函數，

又，，

所以在上有唯一零點，且零點在上．

（Ⅲ）由題意，在上恒成立，

即在上恒成立，

當時，；

當時，恒成立，

設

所以，

由（Ⅱ）可知，，使，

所以，當時，，當時

由此，在單調遞減，在單調遞增．

所以，

又因為，

所以

從而，

所以．

又因為，，

，

所以．

由于在上是增函數，

所以，

故．