【題目】設函數
.
（Ⅰ）討論
的單調性；
（Ⅱ）當
時，討論
的零點個數.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.
【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出
，分三種情況討論，分別令 
得增區間， 
得減區間；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
在
上遞增， 
上遞減， 
上遞增，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理，可判定函數在
， 
， 
上各有一個零點，即可得結果.
試題解析：(Ⅰ) 
.
①當
時， 
，當
時， 
，
當
時， 
.當
時， 
.∴
在
遞增
②當
時，令
，得
，此時
.
易知
在
遞增， 
遞減， 
遞增
③當
時， 
.易知
在
遞增， 
遞減， 
遞增
(Ⅱ)當時，由(Ⅰ)知
在
上遞增， 
上遞減， 
上遞增，
且
，將
代入
，
得
∵
，∴
.
下面證明 當
時存在
，使
.
首先，由不等式
，∴
，∴
，∴
.
考慮到
，
∴
.
再令
，可解出一個根為
，
∵
，∴
，∴
，就取
.
則有
.由零點存在定理及函數
在
上的單調性，可知
在
上有唯一的一個零點.
由
，及
的單調性，可知
在
上有唯一零點.
下面證明在
上，存在
，使
，就取
，則
，
∴
，
由不等式
，則
，即
.
根據零點存在定理及函數單調性知
在
上有一個零點.
綜上可知， 
當
時，共有3個零點.
【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、以及零點存在性定理，屬于難題．利用導數研究函數
的單調性的步驟：①確定函數
的定義域；②對
求導；③令
，解不等式得
的范圍就是遞增區間；令
，解不等式得
的范圍就是遞減區間.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的 
，令 
⊙ 
=mq-np，下面說法錯誤的是（ ）
A.若 
與 
共線，則 ⊙ =0
B. ⊙ = ⊙
C.對任意的λ∈R，有 
⊙ = 
⊙ ）
D.（ ⊙ ）2+（ 
）2=| |2| |2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某生態園將一塊三角形地
的一角
開辟為水果園，已知角
為
， 
的長度均大于200米，現在邊界
處建圍墻，在
處圍竹籬笆.
（1）若圍墻
、
總長度為200米，如何可使得三角形地塊
面積最大？
（2）已知竹籬笆長為
米， 
段圍墻高1米， 
段圍墻高2米，造價均為每平方米100元，若
，求圍墻總造價的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是圓
上的任意一點，點
為圓
的圓心，點
與點
關于平面直角系的坐標原點對稱，線段
的垂直平分線與線段
交于點
.
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）若軌跡
與
軸正半軸交于點
，直線
交軌跡
于
兩點，求
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
對一切實數
都有
成立，且
.
（1）求
的值；
（2）求的解析式；
（3）已知
，設
：當
時，不等式
恒成立；Q：當
時，
是單調函數。如果滿足成立的
的集合記為
，滿足Q成立的的集合記為
，求A∩(CRB)（
為全集）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列命題：
①在函數
的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為
；②函數
的圖象關于點
對稱；③“ 
且
”是“
”的必要不充分條件；④已知命題
：對任意的
，都有
，則
是：存在
，使得
；⑤在
中，若
， 
，則角
等于
或
.其中所有真命題的個數是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程是
，以極點為原點，極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線
的參數方程為
（
為參數）.
（Ⅰ）寫出直線
的普通方程與曲線
的直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線
經過伸縮變換
得到曲線
，若點
，直線
與
交與
， 
，求
， 
.
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