Question

【題目】已知函數對一切實數都有 成立，且.

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）已知，設：當時，不等式 恒成立；Q：當時，是單調函數。如果滿足成立的的集合記為，滿足Q成立的的集合記為，求A∩(CRB)（為全集）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）對抽象函數滿足的函數值關系的理解和把握是解決該問題的關鍵，對自變量適當的賦值可以解決該問題，結合已知條件可以賦求出；（2）在（1）基礎上賦值可以實現求解的解析式的問題；（3）利用（2）中求得的函數的解析式，結合恒成立問題的求解策略，即轉化為相應的二次函數最值問題求出集合，利用二次函數的單調性求解策略求出集合．

試題解析：（1）令x=﹣1，y=1，則由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1）

∴f（0）=﹣2

（2）令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2，∴f（x）=x2+x﹣2

（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x2+x﹣2+3＜2x+a

也就是x2﹣x+1＜a．由于當時，，

又x2﹣x+1=恒成立，

故A={a|a≥1}，g（x）=x2+x﹣2﹣ax=x2+（1﹣a）x﹣2 對稱軸x=，

又g（x）在[﹣2，2]上是單調函數，故有，或，

∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，CRB={a|﹣3＜a＜5}，∴A∩CRB={a|1≤a＜5}．