Question

設函數，數列滿足．
⑴求數列的通項公式；
⑵設，若對恒成立，求實數的取值范圍；
⑶是否存在以為首項，公比為的數列，，使得數列中每一項都是數列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在，理由詳見解析．

解析試題分析：（1）將利用進行化簡，得到關于與的遞推關系式，根據其特點，求其通項公式；（2）本題關鍵是求出，根據其表達式的特點，可每兩項組合后提取公因式后，轉化為等差數列求和，但要注意對，分奇偶性討論，求出后，對恒成立再分離參數后轉化為求最值問題，容易求出實數的取值范圍；（3）此類問題，一般先假設存在符合條件的數列，解出來則存在，如果得到矛盾的結果，則假設錯誤，這樣的數列則不存在.
試題解析：⑴因為，
所以．                            2分
因為，所以數列是以1為首項，公差為的等差數列．
所以．                            4分
⑵①當時，



．                         6分
②當時，


．                8分
所以 要使對恒成立，
只要使為偶數恒成立．
只要使，為偶數恒成立，故實數的取值范圍為． 10分
⑶由，知數列中每一項都不可能是偶數．
①如存在以為首項，公比為2或4的數列，，
此時中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以為首項，公比為偶數的數列． 12分
②當時，顯然不存在這樣的數列．
當時，若存在以為首項，公比為3的數列，．
則，，，．
所以滿足條件的數列的通項公式為．          16分
考點：等差數列、等比數列與函數、不等式的綜合運用.