Question

【題目】已知函數的定義域為且滿足，當時，.

（1）判斷在上的單調性并加以證明；

（2）若方程有實數根，則稱為函數的一個不動點，設正數為函數的一個不動點，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 單調遞減. 見解析 (2) （或）.

【解析】

（1）根據已知條件，構造函數，可證在上單調遞減.，再通過的奇偶性，可得出在上單調遞減，即可判斷在上的單調性；

（2）轉為為（1）中的兩個函數值，利用的單調性，求出的范圍，再根據不動點的定義轉化為在有解，，分離參數，轉化為研究與函數在有交點，通過兩次求導得出在單調性，即可求出在的范圍.

（1）令，則，

∵當時，，∴，

∴在上單調遞減，又∵，

∴，

∴為奇函數，∴在上單調遞減.

又∵在上單調遞減，

∴在上單調遞減.

（2）由（1）可知，在上單調遞減.

∵，∴，

∴，故.

∵正數為函數上的一個不動點，∴方程在上有解，

即方程在上有解，

整理得：.

令，，

設，，則，

∴在上單調遞增，又，

∴，∴，

∴在上單調遞減，

∴（或），

即的取值范圍是（或）.