Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|，g（x）=x+1．

（1）若a=1，求不等式f（x）≤1的解集；

（2）對(duì)任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a2+2a（a＞0）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）{x|0≤x≤1}．（2）﹣≤a≤2

【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義得﹣1≤2x﹣1≤1，即得解集；（2）根據(jù)恒成立條件得|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+2a．利用絕對(duì)值定義分類討論|2x﹣a|+|x+1|的最小值為 ，最后解不等式≥a2+2a得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

試題解析：解：（1）若a=1，不等式f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，即﹣1≤2x﹣1≤1，求得

0≤x≤1，

故不等式的解集為{x|0≤x≤1}．

（2）對(duì)任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a2+2a（a＞0）恒成立，即|2x﹣a|+|x+1|≥a2+2a，

故|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+2a．

∵|2x﹣a|+|x+1|=，

故當(dāng)x=時(shí)，|2x﹣a|+|x+1|取得最小值為+1，

∴+1≥a2+2a，求得﹣≤a≤2．