Question

【題目】已知函數的圖象在處的切線與函數的圖象在處的切線互相平行.

（1）求的值；

（2）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若數列的前項和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見詳解

【解析】

（1）根據曲線在某點處的導數的幾何意義，可得與函數的圖象在處的導數，由于切線平行，可得結果

（2）利用分離參數的方法，得到，然后構建函數，利用導數研究函數的單調性，根據的值域與的大小關系，可得結果.

（3）根據（2），得到，然后令代入，兩邊取對數，進行化簡，結合不等式可得，最后求和可得結果.

（1）由，所以，

則，又

所以，據題意可知：

（2）由（1）可知

又對恒成立，

即在恒成立，

令，

當時，

當時，

所以在單調遞減，

在單調遞增，

所以

所以

所以實數的取值范圍為

（3）由（2）可知：

當時，，即

令，所以，兩邊取對數，

可得，

所以

即

所以

即