Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，左頂點為，離心率為，點是橢圓上的動點，的面積的最大值為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，，線段的中垂線為.若直線與直線相交于點，與直線相交于點，求的最小值.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】試題（1）由已知，有，可得. 設點的縱坐標為.可得

的最大值 。求出，.即可得到橢圓的方程；

（2）由題意知直線的斜率不為，故設直線：.

設，，，.

聯立，得.由弦長公式可得

，由此得到的表達式，由基本不等式可得到的最小值.

試題解析：

（1）由已知，有，即.

∵，∴.

設點的縱坐標為.

則 ，

即.

∴，.

∴橢圓的方程為.

（2）由題意知直線的斜率不為，故設直線：.

設，，，.

聯立，消去，得.

此時.

∴，.

由弦長公式，得 .

整理，得.

又，∴ .

∴ .

∴ ，

當且僅當，即時等號成立.

∴當，即直線的斜率為時，取得最小值.