Question

【題目】已知離心率為的橢圓，右焦點到橢圓上的點的距離的最大值為3。

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上兩個動點，直線與橢圓的另一交點分別為，且直線的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形的面積為定值。

【解析】

試題分析：（1）由題意知：，又，∴，∴，所以橢圓的方程為；（2）當直線的斜率不存在時，設點，可得，，∴。當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立橢圓得，寫出根與系數關系，根據化簡得.利用弦長公式和點到直線距離公式，計算。

試題解析：

（1）由題意知：，又，∴，∴，所以橢圓的方程為。

（2）（1）當直線的斜率不存在時，設點，可得，，∴。

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立橢圓得，設，有，，。∵，得，∴，化簡得：。

∵，原點到直線的距離，∴綜上，四邊形的面積為定值。