Question

【題目】已知函數，（其中，是自然對數的底數）。

（Ⅰ）若關于的方程有唯一實根，求的值；

（Ⅱ）若過原點作曲線的切線與直線垂直，證明：；

（Ⅲ）設，當時，恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)證明見解析；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設條件運用導數的知識求解；（Ⅱ）借助題設條件運用導數的知識推證；（Ⅲ）依據題設條件運用導數的知識求解。

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以，

設，則，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

則，

因為方程有唯一根，

所以，且，

故，所以；

（Ⅱ）因為過原點所作曲線的切線與直線垂直，所以切線的斜率為，且方程為。

設與曲線的切點為，

所以，

所以，且，

令，則，所以在（0,1）上單調遞減，在上單調遞增。若，因為，，所以，

而在上單調遞減，所以。

若，因為在上單調遞增，且，則，

所以（舍去）。

綜上可知，；

（Ⅲ）因為，所以。。

①當時，因為在上遞增，所以，所以在上遞增，恒成立，符合題意。

②當時，因為在上遞增，因為，則存在，使得。所以在上遞減，在上遞增，又時，，所以不恒成立，不合題意。綜合可知，所求實數的取值范圍是。