Question

【題目】已知函數， ．　

（1）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（2）是否存在整數， ，使得的解集恰好是，若存在，求出， 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據二次函數圖像確定對稱軸一定在區間外，再根據左右位置對于單調性確定函數值的正負，解不等式可得實數的取值范圍；（2）根據對稱軸與定義區間位置關系討論函數值對應關系，消去m得關于a,b關系式，根據整數條件確定有限解，最后驗證確定滿足條件的解

試題解析：（1）令，則．

當，即時， 恒成立，

所以．

因為在上是減函數，所以，解得，

所以．

由，解得或，

當時， 的圖象對稱軸，且方程的兩根均為正，

此時在為減函數，所以符合條件．

當時， 的圖象對稱軸，且方程的根一正一負，

要使在單調遞減，則，解得．

綜上可得，實數的取值范圍為．

（2）假設存在整數、，使的解集恰好是，則

①若函數在上單調遞增，則， 且，

即

作差得到，代回得到，即，

由于、均為整數，

故， ， 或， ， ，經檢驗均不滿足要求；

②若函數在上單調遞減，則， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，

由于、均為整數，

故， ， 或， ， ，經檢驗均不滿足要求；

③若函數在上不單調，則， ，且，

即

作差得到，代回得到，即，由于， 均為整數，

故， ， 或， ， ，經檢驗均滿足要求；

綜上：符合要求的整數、是或.