Question

【題目】如圖，在南北方向有一條公路，一半徑為100m的圓形廣場（圓心為O）與此公路一邊所在直線l相切于點A．點P為北半圓弧（弧APB）上的一點，過P作直線l的垂線，垂足為Q．計劃在△PAQ內（圖中陰影部分）進行綠化．設△PAQ的面積為S（單位：m2）．
（1）設∠BOP=α（rad），將S表示為α的函數；
（2）確定點P的位置，使綠化面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈（0，π），

則△PAQ的面積

=5000（sinα+sinαcosα），（0＜α＜π）

（2）解：S/=5000（cosα+cos2α﹣sin2α）

=5000（2cos2α+cosα﹣1）

=5000（2cosα﹣1）（cosα+1），

令 ，cosα=﹣1（舍去），此時 ．

當 關于α為增函數；

當 關于α為減函數．

∴當 時， （m2），此時PQ=150m．

答：當點P距公路邊界l為150m時，綠化面積最大，

【解析】（1）若∠BOP=α，則P點坐標（x，y）中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈（0，π），根據三角形面積公式，我們易將S表示為α的函數．（2）由（1）中結論，我們可利用導數法，判斷函數的單調性，進而求出函數的最大值，即最大綠化面積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．