Question

【題目】設(shè)不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集為M，a，b∈M． （Ⅰ）證明：| a+ b|＜ ；
（Ⅱ）比較|1﹣4ab|與2|a﹣b|的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）記f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|= ，

由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣ ＜x＜ ，則M=（﹣ ， ）．

∵a、b∈M，∴|a|＜ ，|b|＜ ，

∴| a+ b|≤ |a|+ |b|＜ ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜ ，b2＜ ．

因?yàn)閨1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）

=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）

所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|

【解析】（Ⅰ）利用絕對值不等式的解法求出集合M，利用絕對值三角不等式直接證明；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)果，說明ab的范圍，比較|1﹣4ab|與2|a﹣b|兩個數(shù)的平方差的大小，即可得到結(jié)果．