Question

（本小題滿分14分）
設橢圓的離心率為=,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩焦點的距離之和為4．
(1)求橢圓的方程；
（2）橢圓上一動點關于直線的對稱點為,求的取值范圍．

Answer 1

(1)．（2）的取值范圍為．

(1)由橢圓的定義可知a=2,再根據e，可得,從而可求出b,橢圓C的方程確定.
（2）因為點關于直線的對稱點為， 然后根據垂直平分建立兩個方程，從而可利用x₀,y₀表示x₁,y₁.,再根據點P在橢圓上，可得到x₀的取值范圍，從而可得到，的取值范圍.
解：(1)依題意知,    
∵,∴． ………………………………4分
∴所求橢圓的方程為． ……………………………………………6分
（2）∵ 點關于直線的對稱點為，
∴  ……………………………………………8分
解得：，．……………………………………………10分
∴．……………………………………………12分
∵ 點在橢圓:上,∴, 則．
∴的取值范圍為．……………………………………………14分