Question

在直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點．  （Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有||>||．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）． （Ⅲ）在題設條件下，恒有． 

(I)根據橢圓定義可知a=2,,所以b=1,再注意焦點在y軸上，曲線C的方程為.
(II) 直線與橢圓方程聯立，消y得關于x的一元二次方程，再根據坐標化為，借助直線方程和韋達定理建立關于k的方程，求出k值.
(III)要證：||>||,，再根據A在第一象限，故,,從而證出結論.
解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．            3分
（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，
故．       5分
若，即．而，
于是，
化簡得，所以．       8分
（Ⅲ）


．
因為A在第一象限，故．由知，從而．又，
故，
即在題設條件下，恒有．          12分