【題目】如圖，在三棱柱
中，
底面
,
,
,
.
（1）證明
;
（2）求異面直線
和
所成角的余弦值;
（3）求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
；（3）
【解析】
試題（1）由
底面
,得
;再在三角形中解得
,由線面垂直判定定理得
,即得
;（2）利用空間向量求線線角,首先根據條件建立直角坐標系,設立各點坐標,得異面直線
和
方向向量,根據向量數量積求向量夾角,最后根據向量夾角與線線角關系得結果(3) 利用空間向量求二面角,首先根據條件建立直角坐標系,設立各點坐標,根據方程組解得平面法向量,根據向量數量積求兩法向量夾角,最后根據向量夾角與二面角關系得結果
試題解析：解（1）在三棱柱
中，∵
，∴
在
中，
，
，
，由正弦定理得
，
∴
，即。且
，
為平面
內兩條相交直線，
∴，又
，∴
（2）如圖，建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
，
∴
，
，∴
，即異面直線和所成角的余弦值為
（3）可取
為平面
的法向量，設平面
的法向量為
，則
，又∵
，
，∴
，不妨取
，則
，因此有
∴二面角
的平面角的余弦值為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的幾何體中，
垂直于梯形
所在的平面，
為
的中點，
，四邊形
為矩形，線段
交
于點
.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）在線段
上是否存在一點
，使得
與平面
所成角的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的右焦點為
，點
分別是橢圓
的上、下頂點，點
是直線
上的一個動點（與
軸的交點除外），直線
交橢圓于另一個點
.
（1）當直線
經過橢圓的右焦點時，求
的面積；
（2）①記直線
的斜率分別為
，求證：
為定值；
②求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】教育學家分析發現加強語文閱讀理解訓練與提高數學應用題得分率有關，某校興趣小組為了驗證這個結論，從該校選擇甲乙兩個同類班級進行試驗，其中甲班加強閱讀理解訓練，乙班常規教學無額外訓練，一段時間后進行數學應用題測試，統計數據情況如下面的
列聯表（單位：人）
優秀人數 | 非優秀人數 | 總計 | |
甲班 |
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乙班 |
|
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總計 |
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（1）能否據此判斷有
把握認為加強語文閱讀訓練與提高數學應用題得分率有關？
（2）經過多次測試后，小明正確解答一道數學應用題所用的時間在
分鐘，小剛正確解答一道數學應用題所用的時間在
分鐘，現小明、小剛同時獨立解答同一道數學應用題，求小剛比小明先正確解答完的概率；
（3）現從乙班成績優秀的
名同學中任意抽取兩人，并對他們的答題情況進行全程研究，記
兩人中被抽到的人數為
，求的分布列及數學期望
．
附表及公式：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知偶函數
，當
時，
，當
時，
．關于偶函數
的圖象
和直線
的
個命題如下：
①當
時，存在直線
與圖象恰有
個公共點；
②若對于
，直線與圖象的公共點不超過
個，則
；
③
，
，使得直線與圖象交于個點，且相鄰點之間的距離相等．
其中正確命題的序號是（ ）．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
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