Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的左右焦點F1、F2 ， 離心率為 ，雙曲線方程為 =1（a＞0，b＞0），直線x=2與雙曲線的交點為A、B，且|AB|= ．
（Ⅰ）求橢圓與雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點F2的直線l與橢圓交于M、N兩點，交雙曲線與P、Q兩點，當△F1MN（F1為橢圓的左焦點）的內切圓的面積取最大值時，求△F1PQ的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得 ，
解得a2=4，b2=3，
∴橢圓方程為 ，雙曲線方程為 =1．
（Ⅱ）∵三角形內切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F1MN的周長是定值8，
∴只需求出△F1MN面積的最大值．
設直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
于是 = = =12 ．
∵ = = ≤ ，
當且僅當m=0時，△F1MN（F1為橢圓的左焦點）的內切圓的面積取最大值，
∴△F1MN（F1為橢圓的左焦點）的內切圓的面積取最大值時，過點F2的直線l的方程為x=1，
聯立 ，得P（1， ），Q（1，﹣ ），F1（﹣1，0），
∴|PF1|=|QF1|= = ，|PQ|= ，|F1F2|=2，
∴△F1PQ的面積S= = =
【解析】（Ⅰ）由已知得 ，由此能求出橢圓和雙曲線方程．（Ⅱ）設直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韋達定理和弦長公式推導出△F1MN（F1為橢圓的左焦點）的內切圓的面積取最大值時，過點F2的直線l的方程為x=1，由此能求出△F1PQ的面積．