Question

【題目】已知函數 是奇函數，且函數f（x）的圖象過點（1，3）．
（1）求實數a，b值；
（2）用定義證明函數f（x）在 上單調遞增；
（3）求函數[1，+∞）上f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數 是奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ，a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0．

又函數圖象經過點（1，3），∴ ，∵b=0，∴a=2

（2）解：由題意可得 ，

任取 ，并設x1＜x2，

則 ，∵ 且x1＜x2 ，

∴ ，1﹣2x1x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在 上單調遞增

（3）解：由（2）知f（x）在 上單調遞增，∴f（x）在[1，+∞）上單調遞增，

∴f（x）在[1，+∞）上的值域為[f（1），+∞），即[3，+∞）

【解析】（1）根據f（﹣x）=﹣f（x）求得b的值，根據函數圖象經過點（1，3），求得a的值．（2）利用函數的單調性的定義證明f（x）在 上單調遞增．（3）利用函數的單調性求得函數在[1，+∞）上的值域．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．